こんにちは。都立受験生のみなさん、お疲れ様でした。
自己採点の結果、期待も不安もあることと思いますが、今回は来年度の都立受験生である中２生を中心に、都立入試の興味を持った方の目に留まればと思い、数回に分けて解説していきます。
数学全体の講評としては、例年難問が出題される大問３～５の各最後の小問についても、例年よりも取り組みやすかったのでは？といった印象です。ちなみに2025年の大問４は超難問でした。ブログで解説載せているのでご興味があればぜひ。
さて、2026年の大問５の空間図形。
問題文は省略。問２はPC=7APのとき、立体M－CDNPの体積を求める問題。
この手の角錐は頂点－底面の組み合わせを変えて別の角度からアプローチすることも多いですが、
①底面積は求められるか？ ②頂点から底面までの距離は求められるか？
どちらもいけそうなので、そのまま求めます。
ここで空間図形の鉄則「空間から平面図形を抜き出して描く」
底面の四角形CDNPが含まれる△ACDを抜き出しました。分割するより△APNを引く方が良さそうですね。
△ACD=32㎠と△APNを比較し、ACを底辺として見ると、PC=7APよりAPはACの1/8、
高さも垂線を下ろすと1/2になることが分かります。
よって△APN＝32×1/8×1/2＝2㎠ したがって四角形CDNP=32-2=30㎠
次に底面から頂点までの高さです。
MがABの中点なのを利用して、ACにも中点を取りQとします。NもADの中点なので、△MQNは△BCDと同様に正三角形になります。中点連結定理より△MQNの一辺は4cmです。２つの正三角形を抜き出します。
MからQNに垂線を下ろして交点をRとします。このMRが立体M－CDNPの高さになります。正三角形の高さを求めるのは省略してMR＝2√3cm
したがって立体M－CDNPの体積は30×2√3×1/3＝20√3㎤
ちなみに問1は立体の中の平面の角度を求める問題でした。今の解説中に出てきましたが、△MPNは正三角形になるので答えは60°
この手の角度問題は定期的に出題されます。空間内だと目の錯覚で間違って捉えてしまいやすいので、ここでも平面図形を抜き出して考えるのが鉄則です。
なお、90°、60°、45°、30°くらいしか答えになり得ないので困ったらこの中から選びなさい、と苦手な生徒には伝えていた問題でした。念を押しておいてよかった。
とりあえず大問5はここまで。