こんにちは。入試問題解説の第３弾です。
大問３ 下の図の平行四辺形ABCDにおいて、点Eは辺AD上、点Fは辺DC上にあり、AE:ED=1:1、DF:FC=3:1です。対角線ACとBE、BFの交点をそれぞれG、Hとするとき、次の問いに答えなさい。
（中略) (1)でAG:GC=1:2、AG:GH:HC=5:7:3であることが求められる。
(3)五角形EGHFDの面積が47㎠のとき、平行四辺形ABCDの面積を求めなさい。
GD、GFを引いて五角形の面積を３分割します。全体の平行四辺形の面積を①とおいて、分割した三角形が全体のどれだけにあたるのかを求めます。
まず△EDGは全体の平行四辺形の1/2である△ADGを基準に、底辺は×1/2、高さは×1/3（5/5+7+3）なので全体の平行四辺形の1/12にあたる。
次に△DFGはこれも△ADGを基準に、底辺は×3/4、高さは×2/3（7+3/5+7+3）なので全体の平行四辺形の1/4にあたる。
最後に△GFHを求めるには、一旦△GFCを求めると、同様にして全体の平行四辺形の1/12となる。△GHFと△CFHは隣り合う三角形で、底辺比が面積比と等しくなるので、△GHFは1/12 × 7/10 ＝ 7/120 となる。
よって五角形EGHFDの面積は全体の平行四辺形の1/12 + 1/4 + 7/120＝47/120 にあたる。
これが実際には47㎠にあたるので、平行四辺形ABCDの面積は120㎠となる。
長方形や平行四辺形には平行線が含まれているので、平行線を使った相似を利用することが多いです。さらに、隣り合う三角形どうしは底辺の長さの比が面積比と等しくなるので、両方を組み合わせて、三角形の面積比を求めていきましょう。